Вписанная и описанная окружность

Описанная и вписанная окружность

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Определение. Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

• Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Определение. Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

• Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности. Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.


• Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно.
  

  Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  
  
  
  
  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
    
  
  
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  
  
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = \frac{S}{p}$$ , где S - площадь треугольника, а 2a+b+c - полупериметр треугольника.
    
  
  
  
  

  Определение. Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

  
  

  Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.
  

  
  
  
  
  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
  
  
  • В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
  
  
  • Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =\frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$$, где S - площадь теугольника.
  
  
  Определение. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной.
  
  
  
  
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.
  
  
  
  

  Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
  

  
  
  
  
  • Радиус вписанной окружности находят по формулам: $$r = \frac{a \cdot b}{a+b+c}$$, и $$r = \frac{a+b-c}{2}$$, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника.
  
  
  
  

  Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

  
  
  
  
  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
  
  
  • Радиус равен половине гипотенузы: $$R = \frac{c}{2}$$.
    
  
  
  • Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_{c}$$.
  
  
  Четырехугольник, описанный около окружности
  
  
  
  • Четырехугольник ABCD можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны AB + CD = BC + AD.
  
  
  • Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.
  
  
  • Площадь: $$S = p \cdot r$$, где r - радиус вписанной окружности, а $$p = \frac{a+b+c+d}{2}$$ - полупериметр.
    
  
  
  
  

  Четырехугольник, вписанный в окружность

  
  
  
  
  • Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^\circ: \alpha + \beta + \gamma +\delta = 180^\circ$$.
  
  
  • Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^\circ$$.
  
  
  • Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$AB\cdot DC + AD \cdot BC = BD \cdot AC$$.
  
  
  • Площадь: $$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$, где $$p = \frac{a+b+c+d}{2}$$ - полупериметр четырехугольника.
    
  
  
  
  

  Окружность, вписанная в ромб
  

  
  
  
  
  • В любой ромб можно вписать окружность.
  
  
  • Радиус r вписанной окружности: $$r = \frac{h}{2}$$, где h - высота ромба или $$r = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{4a}$$, где a - сторона ромба, d₁ и d₂ - диагонали ромба.