Построение графика квадратичной функции: основы

С графиком квадратичной функции учащиеся знакомятся еще в седьмом классе. При этом, для построения параболы, как правило, записывается таблица значений функции для , затем полученные точки строят на координатной прямой и рисуют параболу

Построение графика квадратичной функции: полезные хитрости

Более продвинутые ученики записывают таблицу только для , строят полученные точки и проводят правую ветвь параболы. Затем, воспользовавшись симметрией графика относительно оси ординат, строят точки параболы для и рисуют вторую ветвь параболы.

Записи таблицы можно избежать, если заметить одну закономерность в расположении указанных точек. Посмотрим таблицу значений функции



В третьей строке таблицы записана разность двух последующих значений функции. Видно, что полученные числа образуют последовательность нечетных чисел (легко убедиться, что эта закономерность выполняется и далее, например,Этот факт легко запоминается. А с учетом этой закономерности построить характеристические точки параболы можно так:

• первая точка – начало координат;


• вторая точка получается из первой смещением на
  одну единицу вправо и на одну единицу вверх;


• третья получается смещением второй точки на
  один вправо и три вверх;



• четвертая точка получается переносом третьей
  на один вправо и пять вверх;


• затем строятся точки левой ветви параболы за
  счет симметрии графика относительно оси ординат.

Остается провести плавную линию через полученные точки, и парабола построена.

Построение графика квадратичной ф-ии вида

Квадратичная функция вида , изучается уже в восьмом классе. Учащиеся узнают, что коэффициент а определяет направление ветвей параболы, а также растяжение или сжатие графика вдоль оси ординат. А для построения графика все равно просчитывают координаты точек. Но без этого можно обойтись, если знать указанную выше закономерность построения точек параболы . И если для нее сдвиг точек вдоль оси OY задавался последовательностью чисел , то для функции эта последовательность чисел будет

Окружность. Определения. Свойства

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Связанные определения

Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.
Длина единичной полуокружности обозначается через π.

Свойства

Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Касательная к окружности: справочный материал

Возможны три случая:
а) точка С лежит вне круга с центром А и радиусом АВ;
б) точка С лежит в круге;
в) точка С лежит на окружности.

Случай а). Задача имеет два решения.

1. Строим серединный перпендикуляр к отрезку АС.


2. Находим середину отрезка АС (точка D).


3. Строим окружность с центром в точке D и радиусом AD.


4. Находим точки пересечения окружностей E и F.


5. Строим прямые CF и EF. Это искомые касательные.

Случай б). Задача не имеет решений.

Случай в). Задача имеет единственное решение.

Строим отрезок АС.
Строим перпендикуляр к отрезку АС, проходящий через точку С.

Вписанная и описанная окружность

Описанная и вписанная окружность

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Определение. Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

• Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Определение. Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

• Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности. Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.


• Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно.
  

  Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  
  
  
  
  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
    
  
  
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  
  
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = \frac{S}{p}$$ , где S - площадь треугольника, а 2a+b+c - полупериметр треугольника.
    
  
  
  
  

  Определение. Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

  
  

  Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.
  

  
  
  
  
  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
  
  
  • В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
  
  
  • Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =\frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$$, где S - площадь теугольника.
  
  
  Определение. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной.
  
  
  
  
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.
  
  
  
  

  Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
  

  
  
  
  
  • Радиус вписанной окружности находят по формулам: $$r = \frac{a \cdot b}{a+b+c}$$, и $$r = \frac{a+b-c}{2}$$, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника.
  
  
  
  

  Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

  
  
  
  
  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
  
  
  • Радиус равен половине гипотенузы: $$R = \frac{c}{2}$$.
    
  
  
  • Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_{c}$$.
  
  
  Четырехугольник, описанный около окружности
  
  
  
  • Четырехугольник ABCD можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны AB + CD = BC + AD.
  
  
  • Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны.
  
  
  • Площадь: $$S = p \cdot r$$, где r - радиус вписанной окружности, а $$p = \frac{a+b+c+d}{2}$$ - полупериметр.
    
  
  
  
  

  Четырехугольник, вписанный в окружность

  
  
  
  
  • Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^\circ: \alpha + \beta + \gamma +\delta = 180^\circ$$.
  
  
  • Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^\circ$$.
  
  
  • Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$AB\cdot DC + AD \cdot BC = BD \cdot AC$$.
  
  
  • Площадь: $$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$, где $$p = \frac{a+b+c+d}{2}$$ - полупериметр четырехугольника.
    
  
  
  
  

  Окружность, вписанная в ромб
  

  
  
  
  
  • В любой ромб можно вписать окружность.
  
  
  • Радиус r вписанной окружности: $$r = \frac{h}{2}$$, где h - высота ромба или $$r = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{4a}$$, где a - сторона ромба, d₁ и d₂ - диагонали ромба.
  
  

Решение неравенств с одной переменной: Цели

Цели:

сформировать умение решать линейные неравенства с одной переменной, особо обращая внимание на отработку умения решать простейшие неравенства вида ax < b и ax > b, обращая специальное внимание на случай, когда а < 0;
научить записывать решение неравенств, используя геометрическую интерпретацию, в виде числовых промежутков;
развивать самостоятельность в работе; приобретать навык исследовательской работы; воспитывать умение слушать ответы одноклассников; умение анализировать, логически мыслить; воспитывать интерес к математике, внимательность.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Этап подготовки учащихся к активному
сознательному усвоению знаний

1. Устно.

а) Какие неравенства соответствуют
промежуткам?

.

б) Верны ли утверждения?

514,9 ; 12; -17.

2. Продолжите фразы (диктант под копирку).

• Если а > b, то b … a.


• Если а > b, b > m, то a … m.


• Если m > n, то m + c … n + c, где с – любое число.


• Если m > n, с > 0, то m + c … n + c


• Если m > n, с < 0, то mc … nc.

3. Разделите неравенство m > n на 2; -2; 3; -4.

4. Решите уравнение (ученик объясняет ход
решения).

5. Решение упражнений из домашнего задания.
(Карточки получают 6 человек, учащиеся решают
задания и сдают учителю).

III. Изучение нового

Задача (была задана на дом).

Из двух городов отправляются одновременно
навстречу друг другу два поезда с одинаковыми
скоростями. С какой скоростью должны двигаться
поезда, чтобы через два часа после начала
движения сумма расстояний, пройденных ими, была
не менее 200 км?

	S км	v км/ч	t ч
I п II п	2x 2x	x x	2 2

x км/ч – искомая скорость движения

2x + 2x
200

4x200

За два часа каждый поезд пройдет путь 2x км.
По условию задачи сумма расстояний, пройденных
поездами за 2 часа должна быть не менее 200 км.

x 50.

Ответ: скорость движения каждого поезда
должна быть не менее 50 км/ч.

В неравенстве 4x200 буквой x обозначено неизвестное число.

Если в неравенство 4x200 подставить x = 51, x = 60, то
получится верное числовое неравенство.

Каждое из этих чисел называют решением
неравенства.

Определение: Решением неравенства
называется значение переменной, которое
обращает его в верное числовое неравенство
(читаем по учебнику про себя).

Решением неравенства не является одно число, а
множество чисел.

Решить неравенство, значить найти все его
решения или доказать, что решений нет.

Решение упражнения № 780.

а) Является ли решением неравенства значение y
= 8?

5y > 2(y – 1) + 6

5 8 > 2(8 – 1) + 6

40 > 20 – верно

б) самостоятельно:

1-й ряд y = -2

5(-2) > 2(-2 – 1) + 6

- 10 > 0 - неверно

2-й ряд y = 1,5

5 (1,5) > 2(1,5 – 1) +
6

7,5 > 7 – верно

3-й ряд y = 2

5 (2) > 2(2 – 1) + 6

10 > 8 – верно.

Рассмотрим неравенства:

18 + 6x > 0

6x > - 18

x > - 3

x = 1

x = - 1

Неравенства, имеющие одни и теже решения,
называются равносильными (читаем в учебнике).

Доказательство: а – число, а > 0,
подставим вместо x и решим, используя
свойства числовых неравенств.

18 + 6а – 18 > 0 – 18

6a > 0 – 18

a > - 3.

Это означает "а" является решением
неравенства.

Решение неравенств основано на свойствах,
которые приводят к алгоритму решения, сходному с
алгоритмом решения уравнений.

1. Перенести слагаемые, содержащие неизвестное, в левую часть, а свободные члены – вправо. 2. Приведя подобные слагаемые, разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

Решением неравенства является множество чисел,
больших -6. Это множество представляет собой
числовой промежуток.

х (- 6;
+)

Ответ: (- 6; +).

Читаем свойства в учебнике на стр. 159. Особое
внимание надо уделять случаю, когда коэффициент
перед неизвестным – отрицательное число.

Устно:

-2x > 6 -2x 6 - x < 12 - x > - 12 - 2x < 4

- x 0 - x 4

Работа по плакату.

IV. Тренировочные упражнения.

Решение упражнения № 783

а) – учитель;

б) – ученик;

в, г) – самостоятельно с проверкой.

Решение упражнения № 784 (а-г) – самостоятельно.

Решение упражнения № 785

а) – учитель;

б) – ученик с учителем и классом;

в) – решает ученик самостоятельно и класс.

Решение упражнения № 788 (показывает учитель).

а) 7x – 2,4 < 0,4 7x < 0,4 + 2,4 7x < 2,8 x < 2,8 : 7 x < 0,4 х (- ; 0,4)

б) 1 – 5y > 3 - 5y > 3 – 1 - 5y > 2 y < 2 : (-5) y < - 0,4 х (- ; - 0,4)

в) 2x – 17 - 27 2x - 27 + 17 2x - 10 2x - 10 : 2 x - 5 х

– примеры линейного неравенства с одним
неизвестным, которые можно объединить в случаи:

V. Вывод

Чтобы решить неравенство, необходимо используя
свойства неравенств свести к линейному и
записать ответ в виде числового промежутка.

VI. Этап закрепления новых знаний

Мини-тест. Коррекция знаний. Инструктаж.

Выполните задания, найдите правильный ответ
среди предложенных и запишите в таблицу (ученики
работают самостоятельно под копирку).

VII. Решение кроссворда

(На усмотрение учителя)

VIII. Этап информации о домашнем задании и
инструктаж по его выполнению

п.31 № 781; 785(а-г); 789 (а,б).